Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Elegir aleatoriamente dos números reales $x$ e $y$ en el intervalo $[0,1]$ equivale a elegir un punto aleatorio del cuadrado de vértices $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$, que tiene área $1$. Por lo tanto, la probabilidad que nos piden será el área de la región donde se cumple la propiedad que nos dan (dividido entre el área del cuadrado, que es $1$). La propiedad nos dice que $x\leq y^2$ o bien $y\leq x^2$; por simetría, el área será entonces dos veces el área entre la gráfica $y=x^2$ y el eje $OX$ en el intervalo $[0,1]$. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta es \[2\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x=\frac{2}{3}.\]