Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos agrupar cada vector con el que resulta de cambiar todas sus componentes de signo, lo cual nos da suma $0$. Esto funciona salvo por el caso del vector $(-1,-1,\ldots,-1)$ que se ha quedado sin pareja al excluir el $(1,1,\ldots,1)$ explícitamente en el enunciado. Por lo tanto, la suma que nos piden es $-r$.

Solución. Para cada entero $0\leq k\leq r$ hay exactamente $\binom{r}{k}$ vectores con $k$ componentes iguales a $1$ y las otras $r-k$ iguales a $-1$. Por lo tanto, cada uno de tales vectores tendrá una suma $k-(r-k)=2k-r$ y la suma que nos piden es \[\sum_{k=0}^{r-1}(2k-r)\binom{r}{k}=2\sum_{k=0}^{r-1}k\binom{r}{k}-r\sum_{k=0}^{r-1}\binom{r}{k}=2\sum_{k=0}^{r-1}k\binom{r}{k}-r(2^r-1).\] Observemos que hemos tenido que eliminar el sumando $k=r$ ya que en el enunciado se nos pide excluir explícitamente el vector $(1,1,\ldots,1)$. También hemos usado que la suma de la fila $k$-ésima del triángulo de Pascal es igual a $2^r$. Ahora bien, para tratar la sumatoria que queda, escribamos \begin{align*} \sum_{k=0}^{r-1}k\binom{r}{k}&=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{k\cdot r!}{k!(r-k)!}=\sum_{k=1}^{r-1}\frac{r!}{(k-1)!(r-k)!}=r\sum_{k=1}^{r-1}\frac{(r-1)!}{(k-1)!((r-1)-(k-1))!}\\ &=r\sum_{k=0}^{r-2}\frac{(r-1)!}{k!((r-1)-k)!}=r\sum_{k=0}^{r-2}\binom{r-1}{k}=r(2^{r-1}-1), \end{align*} ya que hemos tenido que excluir de nuevo el sumando $k=r-1$. Por lo tanto, volviendo al cálculo original, la solución al problema es \[\sum_{k=0}^{r-1}(2k-r)\binom{r}{k}=2r(2^{r-1}-1)-r(2^r-1)=-r.\]