Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Dado $a\in\mathbb{R}$, vamos a trabajar con más generalidad en la ecuación \[\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=a.\] Puede probarse que el miembro de la izquierda tiene sentido sólo para $x\geq\frac{1}{2}$, es decir, $x$ tiene que satisfacer esta desigualdad para que todas las raíces estén bien definidas (recordemos que el resultado de hacer una raíz cuadrada siempre es un número positivo).

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$, obtenemos \[2x=a\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-a\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}.\] Usando esta ecuación y la original, es fácil despejar \begin{align*} \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}&=\frac{a^2+2\sqrt{2x-1}}{2a}\\ \sqrt{x-\sqrt{2x-1}}&=\frac{a^2-2\sqrt{2x-1}}{2a} \end{align*} La primera de estas igualdades no nos da información por ahora, pero la segunda nos dice que el miembro de la derecha tiene que ser positivo. Despejando $x$, esto es equivalente a que \[x\lt \frac{1}{2}+\frac{a^4}{8}.\] Observemos también que si $a=\sqrt{2}$ entonces las dos igualdades anteriores se cumplen para cualquier valor de $x$, lo que nos dice que la primera ecuación del enunciado se cumple si, y sólo si, $x\in[\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{a^4}{8}]=[\frac{1}{2},1]$.

Vamos a suponer ahora que $a\neq\sqrt{2}$. Elevando al cuadrado las dos igualdades despejadas anteriormente y sumando, llegamos a \[2x=\left(\frac{a^2+2\sqrt{2x-1}}{2a}\right)^2+\left(\frac{a^2-2\sqrt{2x-1}}{2a}\right)^2=\frac{a^4+4(2x-1)}{2a^2}.\] Por lo tanto, podemos expresar esta última condición como la ecuación de primer grado $(8-4a^2)x=4-a^4$. Para $a=1$, la única solución es $x=\frac{3}{4}$... ¡pero no cumple $x\lt \frac{1}{2}+\frac{a^4}{8}=\frac{5}{8}$, luego tenemos que descartarla! Para $a=2$, la única solución es $x=\frac{3}{2}$, que puede comprobarse que cumple la ecuación.

Resumiendo, para $a=\sqrt{2}$, tenemos que las soluciones son los elementos del intervalo $[\frac{1}{2},1]$, para $a=1$ no hay solución y para $a=2$ la única solución es $x=\frac{3}{2}$.