Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Llamemos $D_n$ al determinante del enunciado. La suma de las filas desde la $2$ hasta la $n$ es $(3(n-1),3n+2,3n+2,\ldots,3n+2)$. Por lo tanto, si a la primera fila le restamos la suma del resto de filas multiplicadas por $\frac{3}{n+2}$ hacemos ceros en todos sus elementos menos en el primero, con lo que queda \begin{align*} D_n&=\left|\begin{matrix}8-\frac{9(n-1)}{3n+2}&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}&\ldots&3-\frac{3(3n+2)}{3n+2}\\ 3&8&3&\cdots&3\\ 3&3&8&\cdots&3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 3&3&3&\cdots&8\end{matrix}\right|\\ &=\left|\begin{matrix}\frac{5(3n+5)}{3n+2}&0&0&\ldots&0\\ 3&8&3&\cdots&3\\ 3&3&8&\cdots&3\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 3&3&3&\cdots&8\end{matrix}\right|=5\frac{3n+5}{3n+2}\cdot D_{n-1}, \end{align*} donde hemos desarrollado el determinante por la primera fila. Repitiendo el proceso hasta llegar a $D_1=8$, obtenemos \[D_n=5^{n-1}\frac{3n+5}{3n+2}\cdot\frac{3n+2}{3n-1}\cdot\frac{3n-1}{3n-4}\cdots\frac{14}{11}\cdot\frac{11}{8}\cdot 8=5^{n-1}(3n+5),\] donde hemos cancelado numeradores y denominadores.

Para que $D_n$ sea par, tiene que ser $3n+5$ par y $n\geq 2$, lo que equivale a que $n$ sea cualquier impar mayor que $1$.