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Problema 1593problema obsoleto
Demostrar que todas las matrices cuadradas de la forma
\[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\]
(siendo $a,b\in\mathbb{R}$) forman un cuerpo conmutativo $\mathbb{K}$ cuando se consideran las operaciones usuales de suma y producto de matrices. Probar también que, si $A\in\mathbb{K}$ es un elemento no nulo de dicho cuerpo, existen dos matrices de $\mathbb{K}$ tales que el cuadrado de cada una sea igual a $A$.
pistasolución 1info
Pista. Observa que cuerpo en cuestión $\mathbb{K}$ es isomorfo al cuerpo de los números complejos sin más que realizar la identificación
\[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\ \longleftrightarrow\ a+ib.\]
Resuelve el problema en los complejos y trasládalo a $\mathbb{K}$.
Solución. Una forma estándar de resolver este problema es comprobar todos los axiomas de cuerpo conmutativo, pero hay una idea más rápida, que es identificar la matriz con un número complejo:
\[\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}\equiv a+ib.\]
La suma y el producto de matrices de este tipo no es más que la suma y producto de los correspondientes números complejos. Por lo tanto, se trata de un cuerpo conmutativo isomorfo a $\mathbb{C}$.
La respuesta a la última pregunta es también consecuencia del hecho bien conocido de que todo número complejo no nulo tiene exactamente dos raíces cuadradas (una opuesta de la otra).
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