Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si escribimos los cinco enteros como $n-2,n-1,n,n+1,n+2$, obtenemos que \[(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=5(n^2+2).\] Por reducción al absurdo, supondremos que se trata de un cuadrado perfecto, pongamos $a^2$. Como $5(n^2+2)$ es múltiplo de $5$, también deber serlo $a^2$, luego podemos escribir $a=5b$ para cierto entero $b$, lo que nos da $n^2+2=5b^2$. El miembro de la derecha en esta última igualdad es múltiplo de $5$ pero el de la derecha es congruente con $2$, $3$ o $1$ módulo $5$ (puesto que el cuadrado $n^2$ sólo puede ser congruente con $0$, $1$ o $4$ módulo $5$). Así, $n^2+2$ nunca es múltiplo de $5$ y hemos llegado a la contradicción que buscábamos.