Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que $z_1,z_2,z_3$ son distintos. Si tomamos uno de los puntos, pongamos $z_1$, tenemos que se forma un triángulo equilátero si y solo si $z_2-z_1$ y $z_3-z_1$ son números complejos que difieren en una rotación de $\pm\frac{\pi}{3}$, es decir, $(z_3-z_1)=\pm 1_{\pi/3}\cdot (z_2-z_1)$. Elevando al cubo, esto a su vez es equivalente a que $(z_3-z_1)^3=-(z_2-z_1)^3$. Observemos que esta última ecuación incluye una posibilidad más $(z_3-z_1)=-(z_2-z_1)$ que hay que desechar porque $z_1$ es el punto medio de $z_2$ y $z_3$). Esto último puede verse a partir de factorizar $(z_3-z_1)^3+(z_2-z_1)^3=0$ como suma de dos cubos: \[(2z_1-z_2-z_3)(z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1-z_1^2-z_2^2-z_3^2)=0.\] Por lo tanto, la condición sobre los números complejos que nos piden es que sean los tres distintos y que \[z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=z_1^2+z_2^2+z_3^2.\]

Nota. Este es un problema clásico de variable compleja, pero el enunciado no está claro.

Condiciones necesarias y suficientes pueden haber muchas; por ejemplo, decir directamente que $\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\pm 1_{\pi/3}$ o que $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$ también son una respuesta rigurosamente correctas.