Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El número $\binom{2n}{n}$ aparece en el binomio de Newton \[(x+1)^{2n}=\textstyle\binom{2n}{0}x^{2n}+\binom{2n}{1}x^{2n-1}+\ldots+\binom{2n}{n}x^n+\ldots+\binom{2n}{2n},\] siendo el coeficiente del término de grado $n$. Sin embargo, podemos expresar también $(x+1)^{2n}=(x+1)^n(x+1)^n$ y desarrollar esto último de nuevo por la fórmula de Newton: \[(x+1)^{2n}=\textstyle\left(\binom{n}{0}x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}+\ldots+\binom{n}{n}\right)\left(\binom{n}{0}x^{n}+\binom{n}{1}x^{n-1}+\ldots+\binom{n}{n}\right).\] En esta última ecuación, el término de grado $n$ viene dado por \[\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}\binom{n}{n}+\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}+\ldots+\binom{n}{n}\binom{n}{0}.\] Teniendo en cuenta que $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$, se llega directamente a la fórmula del enunciado.

Solución. Vamos a utilizar que $\binom{2n}{n}$ es el número de formas de elegir $n$ elementos del conjunto $C=\{1,2,3,\ldots,2n\}$. Si descomponemos este conjunto en los conjuntos $A=\{1,2,\ldots,n\}$ y $B=\{n+1,n+2,\ldots,2n\}$, elegir $n$ elementos de $C$ equivale a elegir $k$ elementos de los $n$ que tiene $A$ y $n-k$ elementos de los $n$ que tiene $B$, pero esto debe hacerse para cualquier $k$ desde $0$ hasta $n$, lo que nos dice que \[\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2,\] donde hemos usado que $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ para todo $k$.