Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos desarrollar \[z^2+az+b=(z-z_1)(z-z_2)=z^2-(z_1+z_2)z+z_1z_2\] e identificar coeficientes para obtener que \[z_1+z_2=-a,\qquad z_1z_2=b.\] Si llamamos $s_n=z_1^n+z_2^n$, tenemos que \[s_n=(z_1^{n-1}+z_2^{n-1})(z_1+z_2)-z_1z_2(z_1^{n-2}+z_2^{n-2})=-as_{n-1}-bs_{n-2},\] lo que nos dice que cada término de la sucesión $s_n$ es suma de los dos términos precedentes multiplicados por reales. Como los términos iniciales $s_1=-a$ y $s_0=2$ son números reales, toda la sucesión estará formada por números reales.

En el caso de $z^2-2z+2=0$, tenemos las raíces $z_1=1+i$ y $z_2=1-i$, que podemos expresar en forma polar como $z_1=\sqrt{2}(\cos(45)+i\mathrm{sen}(45))$ y $z_2=\sqrt{2}(\cos(-45)+i\mathrm{sen}(-45))$, luego la fórmula de De Moivre nos dice que \begin{align*} z_1^n+z_2^n&=\sqrt{2^n}\left(\cos(45n)+i\,\mathrm{sen}(45n)+\cos(-45n)+i\,\mathrm{sen}(-45n)\right)\\ &=\sqrt{2^n}\left(2\cos(45n)\right)=2^{1+\frac{n}{2}}\cos(45n), \end{align*} donde hemos usado que la función coseno es par y la función seno impar. Además, $\cos(45n)$ tiene un comportamiento periódico de período $8$, luego podemos escribir \[z_1^n+z_2^n=\begin{cases} 2^{1+\frac{n}{2}}&\text{si }n\equiv 0\ (\text{mod }8),\\ 2^{\frac{n+1}{2}}&\text{si }n\equiv 1\text{ o }n\equiv 7\ (\text{mod }8),\\ 0&\text{si }n\equiv 2\text{ o }n\equiv 6\ (\text{mod }8),\\ -2^{\frac{n+1}{2}}&\text{si }n\equiv 3\text{ o }n\equiv 5\ (\text{mod }8),\\ -2^{1+\frac{n}{2}}&\text{si }n\equiv 4\ (\text{mod }8).\\ \end{cases}\] Observamos además que en todos los casos da un resultado entero.