Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Al lanzar la moneda hay $2^3=8$ posibles resultados, de los cuales en uno salen todas caras, en tres salen dos caras y una cruz, en tres sale una cara y dos cruces y en tres salen todas cruces. Veamos cada caso por separado:

• Si son todo caras, entonces son todo bolas blancas, luego la probabilidad de sacar cuatro blancas es $1$.
• Si son dos caras y una cruz, entonces habrá dos bolas blancas y una negra. En cada extracción, habrá una probabilidad de $\frac{2}{3}$ de sacar una bola blanca, luego la probabilidad de que sacar las cuatro blancas será $(\frac{2}{3})^4=\frac{16}{81}$, ya que las extracciones son independientes al devolver la bola a la urna.
• Si son una cara y dos cruces, el mismo razonamiento nos dice que la probabilidad de que sacar las cuatro blancas será $(\frac{1}{3})^4=\frac{1}{81}$.
• Si son todo cruces, entonces todas las bolas son negras, luego la probabilidad de sacar cuatro blancas es $0$.

Por tanto, la probabilidad que nos piden es \[\frac{1}{8}\cdot 1+\frac{3}{8}\cdot \frac{16}{81}+\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{81}+\frac{1}{8}\cdot 0=\frac{11}{54}.\]