Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si fijamos el lado $AB=5$ como base, el vértice opuesto $C$ tiene que estar sobre el arco mayor de la circunferencia que fija pasa por $A$ y $B$ formada por los puntos del plano que ven $AB$ bajo un ángulo de $30^\circ$ (propiedad del arco capaz). Si $h$ es la altura sobre el lado $AB$, entonces el área será máxima cuando $h$ sea máxima, lo que nos dice claramente que $C$ debe ser el punto más alejado del arco y, por tanto, estará sobre la mediatriz de $AB$, esto es, el triángulo $ABC$ será isósceles y tendrá ángulos de $75^\circ$ en $A$ y $B$. Usando razones trigonométricas en el triángulo rectángulo $ACM$, siendo $M$ el punto medio de $AB$, tenemos que \[h=\tfrac{5}{2}\tan(75^\circ)=\tfrac{5}{2}(2+\sqrt{3})\] (¿sabrías demostrar que $\tan(75^\circ)=2+\sqrt{3}$?), luego el área estará dada por \[S=\tfrac{1}{2}AB\cdot h=\tfrac{25}{4}(2+\sqrt{3}).\]