Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si expresamos la desigualdad como \[\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}},\] se ve claramente que no es más que la desigualdad entre las medias aritmética y armónica para los números reales positivos $a_1,\ldots,a_n$. La igualdad se alcanza si y sólo si todos los números son iguales.

Solución. Si usamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a los números $x_k=\sqrt{a_k}$ e $y_k=\frac{1}{\sqrt{a_k}}$, obtenemos directamente la desigualdad del enunciado: \begin{align*} n^2&=(x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n)^2\\ &\leq(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2) &=(a_1+a_2+\ldots+a_n)(\tfrac{1}{a_1}+\tfrac{1}{a_2}+\ldots+\tfrac{1}{a_n}). \end{align*} La igualdad se alcanzará cuando exista $\lambda>0$ tal que $x_k=\lambda y_k$ para todo $k$, es decir, cuando $a_k=\lambda$ para todo $k$, es decir, cuando todos los números son iguales.

Solución. Si multiplicamos los paréntesis, nos encontramos con $n$ sumandos iguales a $1$ (que corresponden a multiplicar $a_k\cdot\frac{1}{a_k}$) y luego pares de sumandos $\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}$ con $i\lt j$. Cada uno de estos pares es la suma de un número y su inverso, luego es mayor o igual que $2$. Como hay tantos pares de este tipo como parejas de subíndices, tendremos $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$ pares y se cumplirá que \[(a_1+a_2+\ldots+a_n)\left(\tfrac{1}{a_1}+\tfrac{1}{a_2}+\ldots+\tfrac{1}{a_n}\right)\geq n+2\cdot\tfrac{n(n-1)}{2}=n^2.\] La igualdad se alcanza cuando $\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}=2$ para todo $i\lt j$, lo que equivale a que $(a_i-a_j)^2=0$ para todo $i\lt j$, es decir, que todos los números son iguales.