Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un número natural no nulo $n$, consideremos la función $f_n:[0,1]\to\mathbb{R}$ definida así: \[f_n(x)=\begin{cases}n^2x&\text{si }0\leq x\lt\frac{1}{n},\\\frac{3}{n}&\text{si } \frac{1}{n}\leq x\leq 1.\end{cases}\]

1. Representar gráficamente la función.
2. Calcular $A_n=\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x$.
3. Hallar, si existe, $\lim_{n\to\infty}A_n$.