Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La función logaritmo $f(x)=\log(x)$ es cóncava, luego cumple que $af(u)+b(v)\leq f(au+bv)$ para cualesquiera $u,v,a,b\gt 0$ tales que $a+b=1$ (esta es la desigualdad de Jensen y viene del hecho de que el segmento que une los puntos $(u,f(u))$ y $(v,f(v))$ se queda por debajo de la gráfica $y=f(x)$). Podemos escribir entonces \[a\log(u)+b\log(v)\leq\log(au+bv),\] y tomando exponenciales en ambos miembros (la función exponencial es estrictamente creciente), llegamos a la desigualdad del enunciado.

Nota. Como $\log(x)$ es estrictamente convexa, la igualdad se alcanza si y sólo si $u=v$ o bien $a=0$ o $b=0$.