Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos la función $f(x)=16x^5-20x^3+5x$, que es derivable en todos los reales y su derivada viene dada por $f'(x)=80x^4-60x^2+5$. Las soluciones de la ecuación $f'(x)=0$ pueden resolverse como una ecuación bicuadrada y obtenemos \[x_1=\frac{-1-\sqrt{5}}{4},\qquad x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4},\qquad x_3=\frac{-1+\sqrt{5}}{4},\qquad x_4=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.\] Al ser todas las raíces simples, se deduce fácilmente que en los puntos $x_1,x_2,x_3,x_4$, la función $f(x)$ tiene extremos relativos. De hecho, como se trata de un polinomio de grado $5$ con coeficiente líder positivo, obtenemos que $f(x)$ tiene máximos relativos en $x_1$ y $x_3$ y mínimos relativos en $x_2$ y $x_4$. Además, se tiene que $f(x_1)=f(x_3)=1$ y $f(x_2)=f(x_4)=-1$ (calcular esto es un poco aburrido pero puede usarse que $f(x)$ es una función impar para ahorrar trabajo). Habrá tantas soluciones de la ecuación del enunciado como puntos de corte de la recta horizontal $y=-m$ con la gráfica $y=f(x)$. Con la información sobre máximos y mínimos obtenida y que la función es estrictamente monótona fuera de estos puntos críticos, se llega finalmente a que:

• Si $m\lt -1$ o $m\gt 1$, la ecuación tiene únicamente una solución real.
• Si $m=-1$ o $m=1$, tiene tres soluciones reales (dos de ellas dobles).
• Si $-1\lt m\lt 1$, tiene cinco soluciones reales.