Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $x\gt y\geq z$ las edades de los tres hermanos en 1960. En primer lugar, que la edad del mayor es la suma las de los dos pequeños nos dice que $x=y+z$. En segundo lugar, cuando pasa una cantidad $a$ de años, los hermanos tienen $x+a,y+a,z+a$ años y uno de estos números es la suma de los otros dos, lo que nos lleva a que $2x=y+z$ o bien $2y=x+z$ o bien $2z=x+y$. La primera ecuación no puede ser ya que $x=y+z$ y se tendría $x=0$; la tercer tampoco porque $x\gt y\geq z$, luego se tiene necesariamente $2y=x+z$.

En el tercer momento de la historia, han pasado $\frac{2}{3}(x+y+z)=\frac{2}{3}(2y+y)=2y$ años y los hermanos tienen $x+2y,3y,z+2y$ años. Tenemos entonces tres posibilidades según qué hermano tenga $21$ años, cada una de las cuales nos lleva a un sistema compatible determinado:

• Si $x+2y=21$, entonces podemos resolver $(x,y,z)=(9,6,3)$.
• Si $3y=21$, entonces podemos resolver $(x,y,z)=(\frac{21}{2},6,\frac{7}{2})$.
• Si $z+2y=21$, entonces podemos resolver $(x,y,z)=(\frac{63}{5},\frac{42}{5},\frac{21}{5})$.

En este problema se presupone que las edades son números enteros, así que la única solución es que en $1960$ los tres hermanos tienen $9$, $6$ y $3$ años.