Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si llamamos $n$ al número en cuestión, la condición del enunciado nos dice que $n^2-n=n(n-1)$ debe ser múltiplo de $100000=2^5\cdot 5^5$. Como $n$ y $n-1$ son primos entre sí, uno de ellos debe ser múltiplo de $2^5=32$ y el otro un múltiplo (impar) de $5^5=3125$. Distingamos las dos posibilidades:

• Si $n=3125k$, entonces $n-1=3125k-1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, lo cual equivale a que $21k\equiv 1\ (\text{mod }32)$. El inverso de $21$ módulo $32$ es $29$ (¿sabrías calcularlo?), luego tenemos que $k\equiv 29\ (\text{mod }32)$, es decir, $n=3125(32j+29)=100000j+90625$ para cierto entero $j$. Como $n$ debe tener cinco cifras, necesariamente $j=0$ y debe ser $n=90625$.
• Si $n-1=3125k$, entonces $n=3125k+1\equiv 0\ (\text{mod }32)$, luego $21k\equiv -1\ (\text{mod }32)$ y obtenemos $k\equiv -29\equiv 3\ (\text{mod }32)$. Esto nos dice que $n=3125(32j+3)+1=100000j+9376$ para cierto entero $j$, luego debe ser $j=0$ y $n=9376$.

Aunque lo anterior ya nos lo confirma, no está de más comprobar que tanto $n=90625$ como $n=09376$ cumplen la condición del enunciado, aunque habría que descartar el segundo si no lo admitimos como número de $5$ cifras.