Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Multiplicando por $\operatorname{sin}\frac{x}{2^n}$ y usando reiteradamente la fórmula del seno del ángulo doble, obtenemos que \begin{align*} \cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^n}\operatorname{sen}\frac{x}{2^n}&=\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^{n-1}}\operatorname{sen}\frac{x}{2^{n-1}}\\ &=\frac{1}{4}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^{n-2}}\operatorname{sen}\frac{x}{2^{n-2}}\\ &=\ldots=\frac{1}{2^n}\operatorname{sen} x. \end{align*} Por lo tanto, el límite del enunciado es igual a \[\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}x}{2^n\operatorname{sen}\frac{x}{2^n}}.\] Ahora bien, es bien conocido que $\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=1$ (puede probarse fácilmente usando la regla de L'Hôpital), luego se tiene que $\lim_{t\to 0}\frac{\sin(xt)}{t}=x$. Ahora tomando $t=\frac{1}{2^n}$ se sigue que $\lim_{n\to\infty}2^n\operatorname{sen}\frac{x}{2^n}=x$. Esto nos dice que el límite del enunciado es \[\lim_{n\to\infty}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^n}=\frac{\operatorname{sen}x}{x}.\]