Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Dado un número entero $n$ mayor o igual que $11$, podemos escribirlo como $n=10^m a+b$, siendo $1\leq a\leq 9$ la cifra más significativa y $b$ el número formado por el resto de cifras (es decir, el número que resulta de eliminar esta primera cifra).

1. En el primer apartado nos piden encontrar el menor $n$ para el que $b=\frac{1}{5}(10^ma+b)$, es decir, $10^m a=4b$. Para $m=1$, la ecuación nos queda $5a=2b$ y el menor valor de $a$ que cumple esta condición es $a=2$, lo que nos da $b=5$, lo que nos da el número $n=25$. Para $m\geq 2$, claramente se obtiene valores de $n$ mayores (de al menos tres cifras). Por lo tanto, $n=25$ es la solución.
2. El segundo apartado se traduce en $b=\frac{1}{12}(10^ma+b)$, es decir, $10^m a=11b$. Claramente, $10^ma$ no es múltiplo de $11$, luego esta ecuación no tiene soluciones.
3. En el caso general nos queda $b=\frac{1}{k}(10^ma+b)$ o bien $(k-1)b=10^ma$. En particular, para cada elección de $k$ y de $a$ hay un único valor posible de $b$ tal que la cifra de las unidades no es cero (y el resto de valores de $b$ son los que se obtienen añadiendo ceros a la derecha).