Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sea $d(x)$ el determinante en cuestión, que se trata claramente de un polinomio de grado $5$. Tras algunos cálculos tediosos, se verifica que \[d(1)=\left|\begin{matrix} 4&2&1&0\\ 6&3&0&2\\ 3&2&1&3\\ 2&1&2&3 \end{matrix}\right|=15,\qquad d(-1)=\left|\begin{matrix} -4&2&1&0\\ -4&3&0&2\\ 3&2&1&3\\ 0&1&2&3 \end{matrix}\right|=-69.\] Ahora bien, al hacer la división euclídea de $d(x)$ entre $x^2-1$ obtenemos un polinomio cociente $q(x)$ y otro polinomio resto $r(x)=ax+b$ tales que $d(x)=(x^2-1)q(x)+r(x)$. Haciendo $x=1$ obtenemos que $15=a+b$ y haciendo $x=-1$ obtenemos que $-69=-a+b$. Resolviendo este sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos que $a=42$ y $b=-27$. Por lo tanto, el resto que nos piden es $42x-27$.