Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros y $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ el conjunto de pares ordenados de enteros. La suma de estos pares se define por \[(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').\] Estudiar si existe un subconjunto $E$ de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

• La suma de dos pares de $E$ también es de $E$.
• El par $(0,0)$ pertenece a $E$.
• Si $(a,b)$ no es $(0,0)$, entonces o bien $(a,b)$ pertenece a $E$ o bien su opuesto $(-a,-b)$ pertenece a $E$, pero no ambos.