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Problema 1653problema obsoleto
OME Nacional, 1986-P4
Denotamos por $m(a,b)$ a la media aritmética de los números reales positivos $a$ y $b$. Dada un función $g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ que tiene la primera y la segunda derivada positivas, definimos la media $\mu(a,b)$ relativa a la función $g$ mediante \[2g(\mu(a, b))= g(a)+g(b).\] Decir, razonadamente, cuál de las dos medias $m$ y $\mu$ es mayor.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza la desigualdad de Jensen aplicada a la función convexa $g$ (es decir, que la gráfica de $g$ se queda por debajo de cualquier recta secante entre dos puntos). Para dar una demostración rigurosa, usa el desarrollo de Taylor de orden $2$ para la función $g$.
Solución. La función $g(t)$ es convexa por tener segunda derivada positiva, luego la desigualdad de Jensen nos dice que \[g(\mu(a,b))=\frac{g(a)+g(b)}{2}\geq g\left(\tfrac{a+b}{2}\right)=g(m(a,b)).\] Como $g$ es estrictamente creciente por tener primera derivada positiva, su inversa $g^{-1}$ existe y es estrictamente creciente. Aplicando dicha inversa a ambos lados de la desigualdad anterior, obtenemos que $\mu(a,b)\geq m(a,b)$ para cualesquiera $a$ y $b$.

Nota. En realidad, no es necesario que $a$ y $b$ sean positivos para que se cumpla la desigualdad $\mu(a,b)\geq m(a,b)$. Observemos además que la igualdad $\mu(a,b)= m(a,b)$ se alcanza únicamente cuando $a=b$ ya que $g$ es estrictamente convexa.

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