Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos el polinomio $z^{30}-1$, cuyas raíces son las raíces $30$-ésimas de la unidad, es decir, $z_k=\cos\frac{2k\pi}{30}+i\operatorname{sen}\frac{2k\pi}{30}$ para $0\leq k\leq 29$ entero. Separando las raíces reales $z_0=1$ y $z_{15}=-1$ y agrupando las restantes en pares de raíces conjugadas, obtenemos que \begin{align*} z^{30}-1&=(z-1)(z+1)\prod_{k=1}^{14}(z-\cos\tfrac{k\pi}{15}-i\operatorname{sen}\tfrac{k\pi}{15})(z-\cos\tfrac{k\pi}{30}+i\operatorname{sen}\tfrac{k\pi}{15})\\ &=(z^2-1)\prod_{k=1}^{14}(z^2-2z\cos\tfrac{k\pi}{15}+1). \end{align*} Evaluando la igualdad anterior en $z=i$, obtenemos que \[-1-1=(-1-1)\prod_{k=1}^{14}(-1-2i\cos\tfrac{k\pi}{15}+1)\ \Rightarrow\ 1=-2^{14}\prod_{k=1}^{14}\cos\tfrac{k\pi}{15}.\] Deducimos así que el producto del enunciado es igual a $-2^{-14}$.