Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores \begin{align*} u&=\left(\binom{n}{1}^{1/2},\binom{n}{2}^{1/2},\ldots,\binom{n}{n}^{1/2}\right),\\ v&=(1,2,\ldots,n), \end{align*} tenemos que \begin{align*} 1\cdot\sqrt{\binom{n}{1}}+2\cdot\sqrt{\binom{n}{2}}+\ldots+n\cdot\sqrt{\binom{n}{n}}&\leq\sqrt{\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\ldots+\binom{n}{n}}\sqrt{1^2+2^2+\ldots+n^2}\\ &=\sqrt{2^n-1}\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\\ &\lt\sqrt{2^n}\sqrt{\frac{2n^3}{6}}\lt \sqrt{2^n}\sqrt{\frac{n^3}{2}}=\sqrt{2^{n-1}n^3}, \end{align*} donde hemos usado la fórmula para la suma de los $n$ primeros cuadrados y también que los elementos de la fila $n$-ésima del triángulo de Tartaglia suman $2^n$.

Nota. La desigualdad de Cauchy-Schwarz sobre dos vectores $u,v\in\mathbb{R}^n$ nos dice que \[|u_1v_1+u_2v_2+\ldots+u_nv_n|\leq (u_1^2+u_2^2+\ldots+u_n^2)^{1/2}(v_1^2+v_2^2+\ldots+v_n^2)^{1/2}\] y la igualdad se alcanza si y sólo si los vectores son proporcionales.