Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un triángulo dado $T$ se descompone en triángulos $T_1,T_2,\ldots,T_n$ de manera que:

• Ningún par de triángulos tiene puntos interiores comunes.
• La unión de todos los triángulos $T_i$ es $T$.
• Cada segmento que es lado de algún triángulo $T_i$, o bien es lado de otro triángulo $T_j$, o bien es lado del triángulo $T$.

Sean $s$ el número total de lados (cada uno contado una sola vez, aunque sea común a dos triángulos) y $v$ el número total de vértices (cada uno contado una sola vez, aunque sea común a varios triángulos). Demostrar que si $n$ es impar, existen varias descomposiciones de esta clase, y todas tienen el mismo número $v$ de vértices y el mismo número $s$ de lados. Expresar $v$ y $s$ en función de $n$. Demostrar también que si $n$ es par no existe tal descomposición.