Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El exponente de $7$ en la descomposición de $2008!$ en factores primos es $331$ (¿por qué?). Entonces podemos expresar $2008!=7^{331}\cdot a$ para cierto número natural $a$ que no es múltiplo de $7$, luego en la ecuación original tenemos que \[x^{2008}=7^y\cdot 3^y-7^{331}\cdot a.\] Si $y\gt 331$, entonces el exponente de $7$ en la descomposición del miembro de la derecha en factores primos es $331$, mientras que si $y\leq 331$, dicho exponente es igual a $y$. Como el exponente de $7$ en el miembro de la izquierda es múltiplo de $2008$, la única posibilidad es que este exponente sea cero, es decir, $y=0$. No obstante, no puede haber ninguna solución de la ecuación con $y=0$ ya que en tal caso $x^{2008}=21^0-2008!\lt 0$ pero $x^{2008}$ siempre es mayor o igual que cero. Esto termina de probar el enunciado.