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Problema 1669
Sean $x$ e $y$ dos números reales positivos. Probar que la expresión
\[A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}\]
se puede escribir en la forma
\[B=\sqrt{x}+\sqrt{y+xy+2y\sqrt{x}}.\]
Comparar los números $L$ y $M$ dados por
\begin{align*}
L&=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{3}},\\
M&=\sqrt{5+\sqrt{22}}+\sqrt{8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}}.
\end{align*}
pistasolución 1info
Pista. Observa que $(\sqrt{z}+\sqrt{w})^2=z+w+2\sqrt{zw}$.
Solución. Para la primera parte, basta observar que
\[(\sqrt{y}+\sqrt{xy})^2=y+2\sqrt{y}\sqrt{xy}+xy=y+xy+2y\sqrt{x}\]
y tomar raíces cuadradas en ambos miembros usando que $\sqrt{y}+\sqrt{xy}\gt 0$.
Para la segunda parte, podemos hacer un razonamiento similar para $x=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{5}$ e $y=3$, lo que nos da la igualdad \[\left(\sqrt{3}+\sqrt{5-\sqrt{22}}\right)^2=8-\sqrt{22}+2\sqrt{15-3\sqrt{22}}\] y podemos transformar \begin{align*} M&=\sqrt{3}+\sqrt{5+\sqrt{22}}+\sqrt{5-\sqrt{22}}\\ &=\sqrt{3}+\sqrt{(5+\sqrt{22})+(5-\sqrt{22})+2\sqrt{5+\sqrt{22}}\sqrt{5-\sqrt{22}}}\\ &=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{25-22}}=\sqrt{3}+\sqrt{10+2\sqrt{3}}. \end{align*}
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