Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1670
Cada punto de un plano está pintado de un color elegido entre tres distintos. ¿Existen necesariamente dos puntos de ese plano que disten $1$ cm y que estén pintados del mismo color?
pistasolución 1info
Pista. Si la no existieran tales puntos, demuestra que los puntos a distancia de $\sqrt{3}$ de un punto dado deben tener necesariamente el mismo color que dicho punto.
Solución. Supongamos por reducción al absurdo que existe tal coloración y lleguemos a una contradicción. Dado un punto $A$ del plano, consideremos los puntos $B,C,D$ tales que $ABC$ y $BCD$ son triángulos equiláteros de lado $1$ con $D\neq A$. Entonces $B$ y $C$ deben estar coloreados de colores distintos al de $A$ y distintos entre sí, luego $D$ tiene que estar coloreado del mismo color que $A$. Ahora bien, con esta construcción $D$ barre todos los puntos de la circunferencia de centro $A$ y radio $\sqrt{3}$, luego toda esta circunferencia debe estar pintada del mismo color que $A$. Esto es una contradicción ya que hay puntos de la circunferencia a distancia exactamente $1$.
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