Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos por reducción al absurdo que existen un par de segmentos con esta propiedad en el plano. Podemos trasladarlos de forma que el origen sea extremo de ambos ya que se trataría de traslaciones de vector de coordenadas enteras y no varía que los extremos tienen coordenadas enteras ni la longitud ni el ángulo que forman. Pongamos que los nuevos extremos (distintos del origen) son $(a,b)$ y $(c,d)$, luego tendrían un ángulo de $45^\circ$ si y solo si \[\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos(45^\circ)=\frac{ac+bd}{\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}.\] El miembro de la izquierda es irracional pero el de la derecha no (puesto que $\sqrt{a^2+b^2}$ y $\sqrt{c^2+d^2}$ son las longitudes de los segmentos y, por tanto, enteros). Exactamente el mismo razonamiento funciona en el espacio y nos da una respuesta también negativa.