Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Por comodidad, llamaremos $\alpha,\beta,\gamma$ a los ángulos del triángulo, como es usual. El triángulo $BAC'$ es isósceles, luego $\angle DC'A=180^\circ-\angle BC'A'=180^\circ-\frac{1}{2}(180^\circ-\beta)=90^\circ+\beta$. Por lo tanto, en el triángulo $AC'D$, tenemos que $\angle C'DA=180^\circ-\angle DC'A-\frac{\alpha}{2}=90-\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\gamma}{2}$. Ahora bien, como $AD$ es la bisectriz y contiene al incentro $I$, deducimos que $\angle A'DI=\angle\frac{\gamma}{2}=\angle ICA'$. Por la propiedad del arco capaz, esto nos dice que $ICDA'$ es un cuadrilátero cíclico y, por tanto, \[\angle ADC=\angle IDC=\angle IA'C=90^\circ.\]