Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Utilizando la desigualdad entre las medias aritmética y armónica, tenemos que \[\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\gt\frac{4}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=4(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).\] Sumando estas desigualdades para $n$ desde $1$ a $9999$, en el miembro de la derecha los términos se cancelan dos a dos menos el primero y el último, y tenemos que \[2S-1-\frac{1}{100}\gt 400-4\ \Leftrightarrow\ S\gt 198.505.\] Consideremos ahora las desigualdades \[\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{2}{2\sqrt{n+1}}\lt \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\] y las sumamos para $n$ desde $1$ hasta $9999$, con lo que obtenemos \[S-1\lt 200-2\ \Leftrightarrow\ S\lt 199.\] Por lo tanto, deducimos que que la parte entera de $S$ es $198$.

Nota. El valor exacto de $S$ con tres cifras decimales es $198.545$.

Solución. Consideremos la función $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$, que es decreciente para $x\gt 0$. El área bajo la curva $y=f(x)$ en el intervalo $[1,10000]$ se puede acotar superiormente por la suma de las áreas de los rectángulos de base el intervalo $[n,n+1]$ y altura $f(n)$ e inferiormente por la suma de las áreas de los rectángulos de base $[n,n+1]$ y altura $f(n+1)$ para $n$ entre $1$ y $9999$. Por lo tanto, tenemos que \[S-1\lt \int_1^{10000}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}\lt S-\frac{1}{100}.\qquad(\star)\] Las desigualdades son estrictas ya que $f(x)$ es estrictamente decreciente. Ahora calculamos la integral inmediata \[\int_1^{10000}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=\left[2\sqrt{x}\right]_1^{10000}=200-2=198.\] Ahora las desigualdades marcadas con $(\star)$ nos dicen que $198\lt S\lt 199$, de donde deducimos que la parte entera de $S$ es $198$.