Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que el número $N$ se factoriza como $p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$, donde $p_1,\ldots,p_r$ son los factores primos distintos y $e_1,\ldots,e_r$ son enteros positivos. Entonces, el número de divisores de su cuadrado $N^2=p_1^{2e_1}p_2^{2e_2}\cdots p_r^{2e_r}$ viene dado por \[(2e_1+1)(2e_2+1)\cdots(2e_r+1)=63.\] Las factorizaciones de $63$ como producto de números impares son $9\cdot 7$, $21\cdot 3$ y $7\cdot 3\cdot 3$, lo cual se corresponde con las siguientes posibles factorizaciones de $N$: \[N=p_1^4p_2^3,\qquad N=p_1^{10}p_2,\qquad N=p_1^3p_2p_3.\] Además, como $83$ es primo, uno de estos primos tiene que ser $83$. Para obtener el menor número en cada uno de los tres casos, usaremos los números primos más pequeños para los exponentes más grandes y dejaremos el primo $83$ para el exponente más pequeño, lo que nos da los siguientes candidatos a solución del problema: \[N=2^4\cdot 83^3,\qquad N=2^{10}\cdot 83,\qquad N=2^3\cdot 3\cdot 83.\] Claramente, el menor de todos es el último, lo que nos dice que el valor que estamos buscando es $N=2^3\cdot 3\cdot 83=1992$ (¡el año!).