Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Definamos la sucesión de números $\{x_n\}$ como $x_1=2$ y, para $n\geq 2$, \[x_n=(x_1+x_2+\ldots+x_{n-1})^2+1.\] Vamos a probar que el conjunto $S$ formado por todos los números $x_n$ cumple la condición del enunciado. Para ello, tomemos una cantidad finita de ellos $x_{n_1},x_{n_2},\ldots,x_{n_j}$ y demostremos que $N=x_{n_1}+x_{n_2}+\ldots+x_{n_j}$ no es un cuadrado perfecto. Podemos suponer sin perder generalidad que $0\lt n_1\lt n_2\lt\ldots\lt n_j$, luego llamando $A=x_1+x_2+\ldots+x_{n_j-1}$ tenemos que \[A^2\lt x_{n_j}\leq N\leq x_1+x_2+\ldots+x_{n_j}=A^2+A+1\lt (A+1)^2,\] lo que nos dice que $N$ está estrictamente entre dos cuadrados consecutivos y, por tanto, no puede ser un cuadrado como queríamos probar.

Nota. Uno puede preguntarse cómo se le ocurre la solución. El truco está en caer en la cuenta de que el siguiente cuadrado a $m^2$ es $(m+1)^2=m^2+2m+1$. Por tanto, si todo elemento es de la forma $m^2+1$ y entre todos los que son menores que él no suman $2m$, la sucesión cumplirá el enunciado. La forma en que lo hemos hecho es una entre una infinidad de posibilidades.