Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observamos que \begin{align*} (a+b)^2&\leq (a+b)^2+2a+b\lt (a+b)^2+2a+2b+1=(a+b+1)^2,\\ (c+d)^2&\leq (c+d)^2+2c+d\lt (c+d)^2+2c+2d+1=(c+d+1)^2. \end{align*} Por lo tanto, si se cumple $(\star)$, se tiene que $(a+b)^2$ y $(c+d)^2$ son el cuadrado inmediatamente inferior a $(a+b)^2+2a+b=(c+d)^2+2c+d$, luego tiene que ser $(a+b)^2=(c+d)^2$. De aquí deducimos que $a+b=c+d$ ya que se trata de números no negativos y $(\star)$ se reescribe ahora como $2a+b=2c+d$. Restando a esta última igualdad la igualdad $a+b=c+d$, llegamos a que $a=c$, de donde $b=d$ y hemos probado el apartado (a).

Para el apartado (b) podemos hacer algo similar, pero ahora \begin{align*} (a+b)^2&\leq (a+b)^2+3a+b\lt (a+b)^2+4a+4b+4=(a+b+2)^2,\\ (c+d)^2&\leq (c+d)^2+3c+d\lt (c+d)^2+4c+4d+4=(c+d+2)^2. \end{align*} Por tanto, se tiene que $a+b$ y $c+d$ o bien son iguales o bien se diferencian en una unidad. Si son iguales, el razonamiento es el mismo que en el apartado (a). Si se diferencian en una unidad, supondremos que $c+d=a+b+1$ sin perder generalidad (el caso $a+b=c+d+1$ es similar). Entonces la condición dada se reescribe como \[(a+b)^2+3a+b=(a+b+1)^2+2c+a+b+1\ \Leftrightarrow\ b+c+1=0,\] pero esto último es imposible ya que $b$ y $c$ son no negativos.

En cuanto al apartado (c), el mismo razonamiento anterior nos sugiere buscar los números verificando $c+d=a+b+1$, en cuyo caso \[(a+b)^2+4a+b=(a+b+1)^2+3c+a+b+1\ \Leftrightarrow\ a=2b+4c+1.\] Tomando $b=c=1$, esto nos lleva a que $a=7$ y $d=8$. Se comprueba fácilmente que estos números verifican la condición, siendo $a\neq c$ y $b\neq d$.