Olimpiadas de Matemáticas
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Dados un número natural $n\gt 0$ y un número complejo $z=x+iy$ de módulo unidad (es decir, $x^2 + y^2 = 1$), se puede cumplir o no la igualdad \[\left(z+\frac{1}{z}\right)^n=2^{n-1}\left(z^n+\frac{1}{z^n}\right).\] Fijado $n$, llamaremos $S(n)$ al subconjunto de complejos de módulo unidad para los que se cumple la igualdad dada.

1. Calcular razonadamente $S(n)$, para $2\leq n\leq 5$.
2. Acotar superiormente el número de elementos de $S(n)$ en función de $n$ para $n\gt 5$.