Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La tercera ecuación nos dice que $a,b,c$ han de ser divisores de $440=2^3\cdot 5\cdot 11$, pero la segunda ecuación nos dice que cada uno de estos números ha de ser menor o igual en valor absoluto a $14$ (en caso contrario, la suma de los cuadrados se pasaría de $210$). Por tanto, nos quedan las posibilidades $\{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 5,\pm 8,\pm 10, \pm 11\}$ para $a,b,c$. Para que se cumpla la tercera ecuación, uno de los números tiene que ser $\pm 11$ y otro $\pm 5$ ó $\pm 10$ ya que $440=2^3\cdot 5\cdot 11$. Ahora es fácil ver, probando casos en la segunda ecuación que los tres números tienen que ser $\pm 11$, $\pm 5$ y $\pm 8$. Evaluando las distintas posibilidades en la primera ecuación se llega a que los números son $11$, $8$ y $5$ (todos positivos). Deducimos que las soluciones son la terna $(11,8,5)$ y todas sus permutaciones.

Solución. Podemos expresar \[ab+bc+ac=\frac{1}{2}\left((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\right)=\frac{1}{2}(24^2-210)=183.\] De las ecuaciones de Cardano, deducimos ahora que $a$, $b$ y $c$ son las raíces del polinomio \[p(x)=x^3-24x^2+183x-440.\] Como dichas raíces han de ser divisores de $440$, se puede probar caso por caso usando la regla de Ruffini y ver que $p(x)$ se factoriza como \[p(x)=(x-11)(x-8)(x-5),\] de donde obtenemos que las soluciones son la terna $(11,8,5)$ y todas sus permutaciones.