Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En la red social Mugbook hay registrado un número infinito de usuarios. Algunos de ellos son amigos en la red social, si bien cada miembro tiene una cantidad finita de amigos y al menos uno (distinto de sí mismo). La amistad es una relación simétrica, es decir, si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ es amigo de $A$.

A cada persona se le pide designar uno de sus amigos como mejor amigo, aunque desafortunadamente ser mejor amigo no es una relación simétrica. Si una persona ha sido designada como mejor amigo por alguien, entonces diremos que es un $1$-mejor amigo. En general, para $n\gt 1$, diremos que un usuario es un $n$-mejor amigo si ha sido designado mejor amigo por alguien que es un $(n-1)$-mejor amigo. Diremos que un usuario es popular si es un $k$-mejor amigo para todo entero positivo $k$.

1. Demostrar que toda persona popular es el mejor amigo de otra persona popular.
2. Demostrar que si los usuarios pudieran tener infinitos amigos, entonces sería posible que una persona popular no sea el mejor amigo de otra persona popular.