Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos escribir la ecuación como \[4x^4-ax^3+bx^2-cx+5=4(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)=0.\] Desarrollando el producto y comparando el término independiente en ambos polinomios, deducimos que $r_1r_2r_3r_4=\frac{5}{4}$. Aplicando ahora la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los números $\frac{r_1}{2}$, $\frac{r_2}{4}$, $\frac{r_3}{5}$ y $\frac{r_4}{8}$, que son reales positivos, llegamos a que \[\frac{1}{4}=\frac{\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}}{4}\leq\sqrt[4]{\frac{r_1}{2}\cdot\frac{r_2}{4}\cdot\frac{r_3}{5}\cdot\frac{r_4}{8}}=\sqrt[4]{\frac{r_1r_2r_3r_4}{320}}=\frac{1}{4}.\] Como se da la igualdad, deducimos que estos cuatro números son iguales e iguales a la media, es decir, \[\frac{r_1}{2}=\frac{r_2}{4}=\frac{r_3}{5}=\frac{r_4}{8}=\frac{1}{4}.\] De aquí que $r_1=\frac{1}{2}$, $r_2=1$, $r_3=\frac{5}{4}$ y $r_4=2$.