Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ funciones definidas en todos los reales y con valores reales que cumplen la ecuación \[f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$. Demostrar que, si $f(x)$ no es idénticamente nula y cumple $|f(x)|\leq 1$ para todo $x\in\mathbb{R}$, entonces $|g(y)|\leq 1$ para todo $y\in\mathbb{R}$.