Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $G$ un conjunto de funciones no constantes de la forma $f(x)=ax+b$ (siendo $a$ y $b$ números reales) con las siguientes propiedades:

• Si $f$ y $g$ están en $G$, entonces $g\circ f$ está en $G$.
• Si $f(x)=ax+b$ está en $G$, entonces su inversa $f^{-1}(x)=(x-b)/a$ también está en $G$.
• Para cada $f$ en $G$, hexiste algún número real $x_f$ tal que $f(x_f)=x_f$.

Demostrar que existe un número real $k$ tal que $f(k)=k$ para todo $f$ en $G$.