Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos un sistema lineal de $p$ ecuaciones con $q=2p$ incógnitas: \[\left.\begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1q}x_q=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2q}x_q=0\\ \vdots\quad\\ a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\ldots+a_{pq}x_q=0 \end{array}\right\}\] en el que todos los coeficientes $a_{ij}$ pertenecen al conjunto $\{-1,0,1\}$. Demostrar que existe una solución $(x_1,x_2,\ldots,x_q)$ cumpliendo las siguientes tres condiciones:

• $x_1,x_2,\ldots,x_q$ son números enteros,
• existe algún subíndice $j$ tal que $x_j\neq 0$,
• $|x_j|\leq q$ para todo $1\leq j\leq q$.