Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octógono regular. Una rana se encuentra en el vértice $A$ y puede saltar desde cualquier vértice a un vértice adyacente, excepto cuando está en $E$, en cuyo caso se para y se queda ahí. Sea $a_n$ el número de trayectorias distintas con exactamente $n$ saltos que terminan en $E$. Demostrar que \[a_{2n-1}=0,\qquad a_{2n}=\frac{x^{n-1}-y^{n-1}}{\sqrt{2}},\] siendo $x=2+\sqrt{2}$ e $y=2-\sqrt{2}$.