Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Haciendo operaciones llegamos a que \[\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^2+b^2+a+b}{ab}.\] Si llamamos $d$ al máximo común divisor, entonces $a$ y $b$ son divisibles por $d$ luego el denominador de la fracción de la derecha es divisible por $d^2$. Como dicha fracción es un número entero, el numerador también ha de ser divisible entre $d^2$. Como $a^2+b^2$ sí es divisible entre $d^2$, entonces $a+b$ también tiene que serlo. De aquí deducimos que $d^2\leq a+b$, de donde $d\leq\sqrt{a+b}$ como queríamos demostrar.