Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ el número de divisores enteros positivos de $n$. Demostrar que, para todos los pares de enteros positivos $(a,b)$, se tiene que
\[d(a)+d(b)\leq d(\mathrm{mcd}(a,b))+d(\mathrm{mcm}(a,b))\]
y determinar para qué pares $(a,b)$ se tiene la igualdad.
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Pista. Demuestra que cada divisor de $a$ y de $b$ (por separado), se puede colocar entre los divisores de $\operatorname{mcd}(a,b)$ y de $\operatorname{mcd}(a,b)$ (y posiblemente sobran algunos, lo que da la desigualdad).
Solución. Podemos expresar como producto de factores primos distintos
\[a=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_n^{x_n},\qquad p_1^{y_1}p_2^{y_2}\cdots p_n^{y_n},\]
donde permitimos que los exponentes $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ puedan ser nulos. Entonces, $\operatorname{mcd}(a,b)$ tiene cada factor primo $p_i$ elevado a $m_i=\min\{x_i,y_i\}$, mientras que $\operatorname{mcm}(a,b)$ lo tiene elevado a $M_i=\max\{x_i,y_i\}$. Tenemos que probar entonces que
\begin{align*}
(x_1+1)(x_2+1)&\cdots (x_n+1)+(y_1+1)(y_2+1)\cdots (y_n+1)\\
&\leq (m_1+1)(m_2+1)\cdots (m_n+1)+(M_1+1)(M_2+1)\cdots (M_n+1).
\end{align*}
Esta es consecuencia de la desigualdad de reordenación generalizada (para $n$ factores) ya que el miembro de la derecha se corresponden con agrupar todos los menores y todos los mayores, mientras que en el de la izquierda están desordenados.
La igualdad en la desigualdad de reordenación se da cuando las sucesiones están ya ordenadas en el mismo orden, es decir, cuando $x_i\leq y_i$ para todo $i$ o bien $y_i\leq x_i$ para todo $i$. Por lo tanto, la igualdad se alcanza únicamente cuando $a$ divide a $b$ o cuando $b$ divide a $a$.
Nota. La desigualdad de reordenación con tres o más sucesiones nos dice que si tenemos $n\geq 3$ sucesiones de $m\geq 1$ términos tales que $0\leq a_{i1}\leq a_{i2}\leq\ldots\leq a_{im}$ para todo $i\in\{1,2,\ldots,n\}$, entonces la mayor de todas las sumas de productos de $m$ elementos, uno de cada sucesión, sin repetir, es
\[a_{11}a_{21}\cdots a_{n1}+a_{12}a_{22}\cdots a_{n3}+\ldots+a_{1m}a_{2m}\cdots a_{nm}.\]
En el enunciado lo hemos aplicado para $m=2$, $a_{i1}=x_i+1$ y $a_{i2}=y_i+1$.
Solución. Al sumar el número de divisores de $a$ y el número de divisores de $b$ obtenemos los divisores de $a$ que no son divisores de $b$, los de $b$ que no lo son de $a$ y repetidos dos veces los divisores comunes. Precisamente estos últimos son los divisores de $\operatorname{mcd}(a,b)$, luego $d(a)+d(b)-d(\operatorname{mcd}(a,b))$ es igual al número de enteros que dividen a $a$ o $b$. Como todos ellos dividen a $\operatorname{mcm}(a,b)$, tenemos la desigualdad del enunciado.
La desigualdad es estricta si hay algún divisor de $\operatorname{mcm}(a,b)$ que no divide a $a$ ni a $b$, lo que equivale a que el mayor de ellos $\operatorname{mcm}(a,b)$ no divida a $a$ ni a $b$. Deducimos así que la igualdad se alcanza si y sólo si $a\mid b$ o bien $b\mid a$.
