Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si llamamos $f(1)=a$, la ecuación del enunciado nos dice que $f(a+1)=2a$. Como $f$ es estrictamente creciente, y en los intervalos $[1,a+1]$ y $[a,2a]$ hay exactamente $a$ números enteros, deducimos que $f(2)=a+1$, $f(3)=a+2$,... hasta $f(a+1)=2a$. En otras palabras, $f(n)=a-1+n$ siempre que $1\leq n\leq a+1$. Sustituyendo ahora $n=a+1$ en la ecuación del enunciado, tenemos que $f(3a+1)=4a$ y, como hay $2a+1$ números tanto en el intervalo del dominio $[a+1,3a+1]$ como en el de la imagen $[2a,4a]$, deducimos que $f(a+2)=2a+1$, $f(a+3)=2a+2$,... hasta $f(3a+1)=4a$, luego $f(n)=a-1+n$ siempre que $1\leq n\leq 3a+1$. Repitiendo el proceso se deduce que $f(n)=a-1+n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, de donde deducimos que toda función que cumpla el enunciado ha de ser de esta forma. Como estas funciones lo cumplen (¡comprobarlo!), deducimos que son las únicas.