Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$ y sea $L$ un camino interior a $S$ que no pasa dos veces por el mismo punto y está compuesto de segmentos rectilíneos $A_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n$ con $A_0\neq A_n$. Supongamos que para todo punto $P$ del borde de $S$ hay un punto de $L$ a distancia de $P$ no mayor que $1/2$. Demostrar que hay dos puntos $X$ e $Y$ en $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que queda entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$.