Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El binomio de Newton nos asegura que \begin{align*} (a+b)^7-a^7-b^7&=7(a^6b+3a^5b^2+5a^4b^3+5a^3b^4+3a^2b^5+ab^6)\\ &=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2. \end{align*} Por lo tanto, si $ab(a+b)$ no es divisible por $7$, necesariamente tendremos que encontrar $a$ y $b$ tales que $a^2+ab+b^2$ sea divisible por $7^3=343$. Curiosamente, si tomamos $b=1$, la ecuación $a=2+a+1=343$ tiene por solución entera positiva $a=18$. Como ni $1$ ni $18$ son múltiplos de $7$, obtenemos que $(a,b)=(18,1)$ es una posible respuesta al problema.