Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En el plano, se tienen dos puntos distintos $O$ y $A$. Para cada punto $X$ distinto de $O$, se denota por $a(X)$ a la medida del ángulo entre $OA$ y $OX$ medido en radianes y en el sentido contrario a las agujas del reloj desde $OA$ (de esta forma, se tiene que $0\leq a(X)\lt 2\pi$). Sea $C(X)$ la circunferencia de centro $O$ y radio $OX+a(X)/OX$. Cada punto del plano se colorea de un color, habiendo en total una cantidad finita de colores distintos. Demostrar que existe un punto $Y$ tal que $a(Y)\gt 0$ y cuyo color aparece también en la circunferencia $C(Y)$.