Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales tales que $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demostrar que, para todo $k\geq 2$, existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ no todos iguales a cero tales que $|a_i|\leq k-1$ para todo $i$ y \[|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\leq\frac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}\]