Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos dos circunferencias concéntricas en el plano de radios $R$ y $r$, con $R\gt r$. Sea $P$ un punto fijo de la circunferencia pequeña y $B$ un punto variable en la grande. La recta $BP$ corta a la circunferencia grande de nuevo en un punto $C$. La perpendicular $\ell$ a $BP$ que pasa por $P$ corta a la circunferencia pequeña de nuevo en $A$ (si $\ell$ fuera tangente a dicha circunferencia en $P$, entonces tomamos $A=P$).

1. Encontrar los valores que puede tomar $BC^2+CA^2+AB^2$ al variar $B$.
2. Hallar el lugar geométrico del punto medio de $BC$ al variar $B$.